برای حل این سوال، از مثلثهای متشابه استفاده میکنیم. در مثلث \( \triangle AHC \) و \( \triangle ABC \):
زاویههای مشترک:
- \( \angle A \) که در هر دو مثلث مشترک است.
- زاویههای \( \angle B \) و \( \angle C \) نود درجه هستند.
طبق قضیه تشابه مثلثها:
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC}
\]
طول \( AH \) برابر \( 10 \sin(45^\circ) \) است. چرا که \( AH \) برابر است با ارتفاع مثلث متساویالساقین \( ABC \).
\( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
بنابراین:
\[
AH = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}
\]
طبق قضیه فیثاغورس در مثلث \( \triangle AHC \):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
\[
10^2 = (5\sqrt{2})^2 + x^2
\]
\[
100 = 50 + x^2
\]
\[
x^2 = 50
\]
\[
x = 5\sqrt{2}
\]
حالا برای یافتن \( y \):
طبق قانون کسینوس در مثلث \( \triangle ABC \):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ)
\]
\[
y^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
y^2 = 100 + 50 - 10x
\]
\[
y^2 = 150 - 50
\]
\[
y^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad y = 10
\]
بنابراین \( x = 5\sqrt{2} \) و \( y = 10 \).
