برای حل این سوال، از مثلث‌های متشابه استفاده می‌کنیم. در مثلث \( \triangle AHC \) و \( \triangle ABC \): زاویه‌های مشترک: - \( \angle A \) که در هر دو مثلث مشترک است. - زاویه‌های \( \angle B \) و \( \angle C \) نود درجه هستند. طبق قضیه تشابه مثلث‌ها: \[ \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \] طول \( AH \) برابر \( 10 \sin(45^\circ) \) است. چرا که \( AH \) برابر است با ارتفاع مثلث متساوی‌الساقین \( ABC \). \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) بنابراین: \[ AH = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \] طبق قضیه فیثاغورس در مثلث \( \triangle AHC \): \[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \] \[ 10^2 = (5\sqrt{2})^2 + x^2 \] \[ 100 = 50 + x^2 \] \[ x^2 = 50 \] \[ x = 5\sqrt{2} \] حالا برای یافتن \( y \): طبق قانون کسینوس در مثلث \( \triangle ABC \): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) \] \[ y^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \] \[ y^2 = 100 + 50 - 10x \] \[ y^2 = 150 - 50 \] \[ y^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad y = 10 \] بنابراین \( x = 5\sqrt{2} \) و \( y = 10 \).