برای حل سوال ۷:
در مستطیل \(ABCD\)، قطر \(BD\) رسم شده است. اگر \(AB = 12\) و \(BH = 10\)، و \(AH\) عمود بر \(BD\) باشد، میخواهیم طول \(AH\) و \(AD\) را بیابیم.
1. \(\Delta ABH\) یک مثلث قائمالزاویه است.
2. از رابطه فیثاغورث در \(\Delta ABH\):
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2
\]
\[
AH^2 + 10^2 = 12^2
\]
\[
AH^2 + 100 = 144
\]
\[
AH^2 = 44
\]
\[
AH = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}
\]
3. حال از \(\Delta ABD\):
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2
\]
از آنجا که \(BD\) یک قطر است و \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}\)، با توجه به اینکه \(B\) و \(D\) قطری از مستطیل هستند، طولهای روبرو مساویاند و در نتیجه \(AD = AB = 12\).
بنابراین:
- \(AD = 12\)
- \(AH = 2\sqrt{11}\)
برای سوال ۸:
در یک مثلث قائمالزاویه با وتر ۴ واحد و ارتفاع وارد بر وتر ۳ واحد:
فرض کنیم وتر مثلث \(c = 4\) و ارتفاع وارد بر وتر \(h = 3\) است.
در مثلث قائمالزاویه:
\[
\text{مساحت } = \frac{1}{2} \times b \times a = \frac{1}{2} \times c \times h
\]
در نتیجه داریم:
\[
\frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6
\]
این دو معادله داریم:
1. \(a^2 + b^2 = 16\) (از قضیه فیثاغورث)
2. \(ab = 12\)
برای حل این سیستم معادلات:
از رابطه \(a + b = x\) و \(ab = 6\)، معادله درجه دوم داریم:
\((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = x^2 = 16 + 12 = 28\)
بنابراین:
\(a + b = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\)
پس طولهای اضلاع مثلث بهدست آمده قابل تطبیق با:
\(a\) و \(b\) از معادلات قابل حل است.
در نتیجه:
\(a\) و \(b\) را با روابط بالا محاسبه کنید؛ با استفاده از:
\[
a = \frac{\sqrt{28} + \sqrt{(28-4)}}{2}, \quad b = \frac{\sqrt{28} - \sqrt{(28-4)}}{2}
\]
