برای حل این سوال، ابتدا می‌دانیم که یک دنباله حسابی به شکل زیر تعریف می‌شود:
\( a_n = a + (n-1)d \)
که در آن \( a \) جمله اول دنباله و \( d \) اختلاف دنباله است.
با توجه به اینکه مجموع جملات پنجم و ششم برابر ۱۰ است، می‌توانیم بنویسیم:
\[
a_5 + a_6 = 10
\]
جملات پنجم و ششم را با فرمول دنباله حسابی می‌توان نوشت:
\[
a_5 = a + 4d
\]
\[
a_6 = a + 5d
\]
حالا مجموع این دو جمله را محاسبه می‌کنیم:
\[
(a + 4d) + (a + 5d) = 10 \implies 2a + 9d = 10 \tag{1}
\]
حال برای مجموع جملات هشتم و نهم که برابر با منفی ۲ است، می‌نویسیم:
\[
a_8 + a_9 = -2
\]
جملات هشتم و نهم را به شکل زیر خواهیم داشت:
\[
a_8 = a + 7d
\]
\[
a_9 = a + 8d
\]
حالا مجموع این دو جمله را نیز محاسبه می‌کنیم:
\[
(a + 7d) + (a + 8d) = -2 \implies 2a + 15d = -2 \tag{2}
\]
حالا داریم دو معادله:
1. \( 2a + 9d = 10 \) (معادله 1)
2. \( 2a + 15d = -2 \) (معادله 2)
برای حل این معادلات، از معادله 1، می‌توانیم \( 2a \) را به دست آوریم:
\[
2a = 10 - 9d \tag{3}
\]
اکنون معادله 3 را به معادله 2 اضافه می‌کنیم:
\[
(10 - 9d) + 15d = -2
\]
ساده‌سازی می‌کنیم:
\[
10 + 6d = -2
\]
حالا \( 6d = -2 - 10 \):
\[
6d = -12 \implies d = -2
\]
حالا که \( d \) را پیدا کردیم، می‌توانیم آن را در معادله 3 قرار دهیم تا \( 2a \) را پیدا کنیم:
\[
2a = 10 - 9(-2)
\]
\[
2a = 10 + 18 \implies 2a = 28 \implies a = 14
\]
بنابراین، جمله اول این دنباله \( a \) برابر با 14 است.
پاسخ نهایی: **14**
