برای حل این سوال، ابتدا معادله داده شده را بررسی میکنیم:
\[
(16 \times 36)^3 = 81 \times 8^k
\]
ابتدا باید اعداد را به صورت توانهای ابتدایی تجزیه کنیم:
- عدد 16 برابر است با \(2^4\).
- عدد 36 برابر است با \(2^2 \times 3^2\).
- عدد 81 برابر است با \(3^4\).
- عدد 8 برابر است با \(2^3\).
حالا با جایگذاری این مقادیر در معادله داریم:
\[
(2^4 \times 2^2 \times 3^2)^3 = 3^4 \times (2^3)^k
\]
سادهسازی بخش چپ معادله:
\[
(2^{4+2} \times 3^2)^3 = (2^6 \times 3^2)^3
\]
هنگام توان 3 گرفتن داریم:
\[
2^{18} \times 3^6
\]
حالا معادله به صورت زیر خواهد بود:
\[
2^{18} \times 3^6 = 3^4 \times 2^{3k}
\]
با مقایسه توانهای پایههای مشابه داریم:
\[
2^{18} = 2^{3k} \quad \Rightarrow \quad 18 = 3k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{18}{3} = 6
\]
بنابراین، مقدار \( k \) برابر 6 است.
