برای حل این مسئله، از قانون بقای انرژی استفاده میکنیم. در این مسئله، انرژی مکانیکی در نقاط مختلف مسیر به صورت زیر است:
در نقطه \( A \):
- انرژی جنبشی: \( \frac{1}{2} m v_A^2 \)
- انرژی پتانسیل: \( m g h_A \)
در نقطه \( B \):
- انرژی جنبشی: \( \frac{1}{2} m v_B^2 \)
در نقطه \( C \):
- انرژی پتانسیل: \( m g h_C \)
با توجه به اینکه اتلاف انرژی ناچیز است، میتوان نوشت:
\[ \frac{1}{2} m v_A^2 + m g h_A = \frac{1}{2} m v_B^2 \]
و در نقطه \( B \):
\[ \frac{1}{2} m v_B^2 = m g h_C \]
با ساده کردن معادلات و حذف جرم \( m \)، به دست میآوریم:
\[ \frac{1}{2} (5)^2 + 10 \times h_A = \frac{1}{2} (15)^2 \]
حل این معادله برای \( h_A \):
\[ \frac{1}{2} \times 25 + 10 \times h_A = \frac{1}{2} \times 225 \]
\[ 12.5 + 10 h_A = 112.5 \]
\[ 10 h_A = 100 \]
\[ h_A = 10 \]
و چون \( v_B^2 = 2 g h_C \)، پس \( h_C = 11.25 \).
پس \[ \frac{h_A}{h_C} = \frac{10}{11.25} = \frac{8}{9} \]
گزینه (2) صحیح است.
