برای سوال ۴، معادله به صورت زیر داده شده است:
\[ x^2 - (rm + 1)x + 5m + 2 = 0 \]
با دانستن این که \( x = 2 \) یکی از ریشه‌های معادله است، می‌توانیم مقدار \( m \) را به دست آوریم.
1. جایگذاری \( x = 2 \) در معادله:
\[ (2)^2 - (rm + 1)(2) + 5m + 2 = 0 \]
2. ساده‌سازی:
\[ 4 - 2(rm + 1) + 5m + 2 = 0 \]
3. باز کردن پرانتزها:
\[ 4 - 2rm - 2 + 5m + 2 = 0 \]
4. جمع جملات مشابه:
\[ 4 + 0m - 2rm = 0 \]
\[ 4 + 5m - 2rm = 0 \]
5. تنظیم معادله برای حل \( m \):
\[ 5m - 2rm = -4 \]
\[ m(5 - 2r) = -4 \]
6. بنابراین:
\[ m = \frac{-4}{5 - 2r} \]
به این ترتیب \( m \) وابسته به مقدار \( r \) است.
ب) برای پیدا کردن ریشه دیگر:
از مجموع ریشه‌ها (قانون ویت) می‌دانیم که \( x_1 + x_2 = \frac{rm + 1}{1} \).
با دانستن اینکه یکی از ریشه‌ها ۲ است، می‌توان گفت:
\[ 2 + x_2 = rm + 1 \]
بنابراین:
\[ x_2 = rm + 1 - 2 \]
اما مقدار دقیق ریشه دیگر بستگی به مقدار \( r \) دارد که در سوال مشخص نشده است.
