برای سوال ۴، معادله به صورت زیر داده شده است: \[ x^2 - (rm + 1)x + 5m + 2 = 0 \] با دانستن این که \( x = 2 \) یکی از ریشه‌های معادله است، می‌توانیم مقدار \( m \) را به دست آوریم. 1. جایگذاری \( x = 2 \) در معادله: \[ (2)^2 - (rm + 1)(2) + 5m + 2 = 0 \] 2. ساده‌سازی: \[ 4 - 2(rm + 1) + 5m + 2 = 0 \] 3. باز کردن پرانتزها: \[ 4 - 2rm - 2 + 5m + 2 = 0 \] 4. جمع جملات مشابه: \[ 4 + 0m - 2rm = 0 \] \[ 4 + 5m - 2rm = 0 \] 5. تنظیم معادله برای حل \( m \): \[ 5m - 2rm = -4 \] \[ m(5 - 2r) = -4 \] 6. بنابراین: \[ m = \frac{-4}{5 - 2r} \] به این ترتیب \( m \) وابسته به مقدار \( r \) است. ب) برای پیدا کردن ریشه دیگر: از مجموع ریشه‌ها (قانون ویت) می‌دانیم که \( x_1 + x_2 = \frac{rm + 1}{1} \). با دانستن اینکه یکی از ریشه‌ها ۲ است، می‌توان گفت: \[ 2 + x_2 = rm + 1 \] بنابراین: \[ x_2 = rm + 1 - 2 \] اما مقدار دقیق ریشه دیگر بستگی به مقدار \( r \) دارد که در سوال مشخص نشده است.