برای حل این سوال، ابتدا باید مطمئن شویم که نقطهای روی خط \( y = 2x + 1 \) با فاصله 2 از مبدأ (نقطه \( (0, 0) \)) وجود دارد.
فرض میکنیم نقطهای به مختصات \( (x_1, y_1) \) روی این خط قرار داشته باشد. رابطه خط به ما میگوید که \( y_1 = 2x_1 + 1 \).
برای اینکه فاصله این نقطه از مبدأ 2 باشد، از فرمول فاصله دو نقطه استفاده میکنیم:
\[
\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 2
\]
جایگذاری \( y_1 = 2x_1 + 1 \) در معادله فاصله میدهد:
\[
\sqrt{x_1^2 + (2x_1 + 1)^2} = 2
\]
با مجذور کردن دو طرف معادله، خواهیم داشت:
\[
x_1^2 + (2x_1 + 1)^2 = 4
\]
بسط عبارت دوم:
\[
(2x_1 + 1)^2 = 4x_1^2 + 4x_1 + 1
\]
قرار دادن در معادله:
\[
x_1^2 + 4x_1^2 + 4x_1 + 1 = 4
\]
جمع کردن جملات همجنس:
\[
5x_1^2 + 4x_1 + 1 = 4
\]
با کم کردن 4 از هر دو طرف داریم:
\[
5x_1^2 + 4x_1 - 3 = 0
\]
این یک معادله درجه دوم است. از فرمول حل معادلات درجه دوم \( ax^2 + bx + c = 0 \) استفاده میکنیم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در این معادله \( a = 5 \)، \( b = 4 \)، \( c = -3 \) است. بنابراین:
\[
x_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 5 \times (-3)}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 60}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{5}
\]
دو مقدار ممکن برای \( x_1 \) داریم:
1. \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{19}}{5} \)
2. \( x_1 = \frac{-2 - \sqrt{19}}{5} \)
معادله خط به ما میگوید \( y_1 = 2x_1 + 1 \)، بنابراین:
1. اگر \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{19}}{5} \)، آنگاه \( y_1 = 2\left(\frac{-2 + \sqrt{19}}{5}\right) + 1 \)
2. اگر \( x_1 = \frac{-2 - \sqrt{19}}{5} \)، آنگاه \( y_1 = 2\left(\frac{-2 - \sqrt{19}}{5}\right) + 1 \)
این دو نقطه مختصاتهایی هستند که فاصلهشان از مبدأ 2 است.
