برای حل سوال دادهشده، ابتدا به تعریف مجموعه \( A_n \) توجه میکنیم.
مجموعه \( A_n \) به صورت زیر تعریف شده است:
\[ A_n = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid -\frac{2}{n} < x \leq \frac{n-2}{n} \right\} \]
ما به دنبال \( A_4 \cap A_6 \) هستیم. بنابراین ابتدا این دو مجموعه را پیدا میکنیم:
1. **محاسبه \( A_4 \):**
\[ A_4 = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid -\frac{2}{4} < x \leq \frac{4-2}{4} \right\} \]
\[ A_4 = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid -\frac{1}{2} < x \leq \frac{1}{2} \right\} \]
2. **محاسبه \( A_6 \):**
\[ A_6 = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid -\frac{2}{6} < x \leq \frac{6-2}{6} \right\} \]
\[ A_6 = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid -\frac{1}{3} < x \leq \frac{2}{3} \right\} \]
حال \( A_4 \cap A_6 \) را پیدا میکنیم، که اشتراک دو بازه است:
- \( A_4 \) بازه \((-0.5, 0.5]\) است.
- \( A_6 \) بازه \((-0.33, 0.67]\) است.
اشتراک این دو بازه:
\[ A_4 \cap A_6 = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] \]
در نتیجه، جواب نهایی به صورت زیر خواهد بود:
\[ A_4 \cap A_6 = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] \]
