برای حل مسئله، ابتدا بردارهای \(\overrightarrow{AB}\) و \(\overrightarrow{BC}\) را محاسبه میکنیم و سپس شرط \(\overrightarrow{AC} = 2 \times \overrightarrow{BC}\) را بررسی میکنیم.
مختصات نقطه \(A\) داده شده:
\[ A = \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix} \]
مختصات نقطه \(B\) داده شده:
\[ B = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \]
مختصات نقطه \(C\) را با \( (x, y) \) در نظر میگیریم.
ابتدا بردار \(\overrightarrow{AB}\) را پیدا میکنیم:
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 6 \\ -1 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \end{bmatrix}
\]
بازای \(\overrightarrow{BC}\):
\[
\overrightarrow{BC} = C - B = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x - 1 \\ y + 1 \end{bmatrix}
\]
و \(\overrightarrow{AC}\) برابر است با:
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + 6 \\ y - 4 \end{bmatrix}
\]
با توجه به شرط \(\overrightarrow{AC} = 2 \times \overrightarrow{BC}\)، داریم:
\[
\begin{bmatrix} x + 6 \\ y - 4 \end{bmatrix} = 2 \times \begin{bmatrix} x - 1 \\ y + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x - 1) \\ 2(y + 1) \end{bmatrix}
\]
از اینجا، معادلات زیر به دست میآید:
1. \(x + 6 = 2(x - 1)\)
2. \(y - 4 = 2(y + 1)\)
حال به حل این معادلات میپردازیم:
برای معادله اول:
\[ x + 6 = 2x - 2 \]
\[ 6 + 2 = 2x - x \]
\[ 8 = x \]
برای معادله دوم:
\[ y - 4 = 2y + 2 \]
\[ -4 - 2 = 2y - y \]
\[ -6 = y \]
بنابراین مختصات نقطه \(C\) برابر \((8, -6)\) است.
