برای حل مسئله، ابتدا بردارهای \(\overrightarrow{AB}\) و \(\overrightarrow{BC}\) را محاسبه می‌کنیم و سپس شرط \(\overrightarrow{AC} = 2 \times \overrightarrow{BC}\) را بررسی می‌کنیم. مختصات نقطه \(A\) داده شده: \[ A = \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix} \] مختصات نقطه \(B\) داده شده: \[ B = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \] مختصات نقطه \(C\) را با \( (x, y) \) در نظر می‌گیریم. ابتدا بردار \(\overrightarrow{AB}\) را پیدا می‌کنیم: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 6 \\ -1 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \end{bmatrix} \] بازای \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x - 1 \\ y + 1 \end{bmatrix} \] و \(\overrightarrow{AC}\) برابر است با: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + 6 \\ y - 4 \end{bmatrix} \] با توجه به شرط \(\overrightarrow{AC} = 2 \times \overrightarrow{BC}\)، داریم: \[ \begin{bmatrix} x + 6 \\ y - 4 \end{bmatrix} = 2 \times \begin{bmatrix} x - 1 \\ y + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x - 1) \\ 2(y + 1) \end{bmatrix} \] از اینجا، معادلات زیر به دست می‌آید: 1. \(x + 6 = 2(x - 1)\) 2. \(y - 4 = 2(y + 1)\) حال به حل این معادلات می‌پردازیم: برای معادله اول: \[ x + 6 = 2x - 2 \] \[ 6 + 2 = 2x - x \] \[ 8 = x \] برای معادله دوم: \[ y - 4 = 2y + 2 \] \[ -4 - 2 = 2y - y \] \[ -6 = y \] بنابراین مختصات نقطه \(C\) برابر \((8, -6)\) است.