برای حل این سوال، ابتدا دو عبارت داده شده را بررسی میکنیم.
عبارت اول:
\[ (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots + 11x^{10}) \]
این عبارت یک دنباله حسابی از ضرایب است که به توانهای \( x \) ضریب میدهد.
عبارت دوم:
\[ (1 + x + x^2 + \ldots + x^{20}) \]
این عبارت یک سری هندسی است.
هدف سوال یافتن ضربهای \( x^{40} \) در حاصلضرب این دو عبارت است.
1. برای فهمیدن توان \( x^{40} \) در حاصل نهایی، نیاز است تا جایی که میتوان با جمع کردن اندیسهای توان از دو عبارت، به 40 رسید.
2. توجه داشته باشید که دنباله ضریبدار تا \( 10 \) ادامه دارد (بالاترین توان \( x^{10} \)) و سری هندسی تا \( 20 \) ادامه دارد (بالاترین توان \( x^{20} \)).
فرض کنید:
\[
(x^i) \text{ از اولین عبارت} \quad \text{و} \quad (x^j) \text{ از دومین عبارت}
\]
که در آن \( i+j = 40 \).
- بیشترین \( i \) در اولین عبارت برابر 10 است و بیشترین \( j \) باید 30 باشد (عدد ممکن نیست).
بدین ترتیب، تنها حالتی که میتوان به \( x^{40} \) رسید، این است که هیچ جفت دلخواهی از \( (i, j) \) نمیتواند جمع منطقی برای رسیدن به \( 40 \) بسازد.
بنابراین، ضریب توان \( x^{40} \) برابر 0 است و عبارت \( x^{40} \) در حاصلضرب وجود ندارد.
بنابراین پاسخ سوال برابر است با: \(0\).
