برای حل این مسائل دو بخش داریم:
**بخش اول: تعیین ابعاد مستطیلی با محیط ثابت برای بیشینه کردن مساحت**
فرض کنید طول و عرض مستطیل به ترتیب \(x\) و \(y\) باشند. با توجه به محیط 100 متری داریم:
\[2x + 2y = 100\]
\[x + y = 50\]
حال باید مساحت مستطیل که \(A = x \times y\) است را بیشینه کنیم. از معادله محیط:
\[y = 50 - x\]
مساحت داریم:
\A = x, = 50x - x^2
برای پیدا کردن مقدار بیشینه، مشتق \(A\) را بر حسب \(x\) محاسبه و صفر قرار میدهیم:
\[A' = 50 - 2x\]
وقتی \(A' = 0\):
\[50 - 2x = 0\]
\[x = 25\]
از اینجا \(y = 50 - 25 = 25\). یعنی، ابعاد برای بیشینهسازی مساحت همان مربع با ضلع 25 است.
**بخش دوم: تعیین حداکثر سود**
تابع سود \(S\) به صورت زیر تعریف میشود:
\S = \text{درآمد} - \text{هزینه},که
\[\text{درآمد} = -\frac{1}{4}x^2 + 25x\]
\[\text{هزینه} = 15x + 30\]
\S = \left - ,\S, = -\frac{1}{4}x^2 + 10x - 30
برای یافتن نقطه حداکثر، مشتق \(S(x)\) بر حسب \(x\) را میگیریم و برابر با صفر قرار میدهیم:
\S', = -\frac{1}{2}x + 10
وقتی \(S'(x) = 0\):
\[-\frac{1}{2}x + 10 = 0\]
\[x = 20\]
با جایگذاری در \(S(x)\):
\S = -\frac{1}{4},^2 + 10 \times 20 - 30\S, = -100 + 200 - 30\S, = 70
بنابراین، حداکثر سود برابر با 70 است.
