حل سوالات به ترتیب زیر است:
1. محاسبه \(\sqrt[3]{1 + \sqrt{49}}\):
ابتدا عبارت زیر را محاسبه میکنیم:
\[
\sqrt{49} = 7
\]
بنابراین عبارت اصلی به صورت زیر میشود:
\[
1 + 7 = 8
\]
حال از ریشهی سوم استفاده میکنیم:
\[
\sqrt[3]{8} = 2
\]
2. محاسبه \(\frac{\sqrt[5]{a^{-2}}}{\sqrt[3]{a^{-2}}}\):
ابتدا میتوانیم عبارتها را به صورت توان کسری بنویسیم:
\[
a^{-2/5} \quad \text{و} \quad a^{-2/3}
\]
عبارت کسری اصلی به صورت زیر است:
\[
\frac{a^{-2/5}}{a^{-2/3}} = a^{-2/5 + 2/3}
\]
ابتدا کسرها را هممخرج میکنیم:
\[
- \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{15} + \frac{10}{15} = \frac{4}{15}
\]
بنابراین:
\[
a^{4/15}
\]
3. محاسبه \(\sqrt[9]{\left(\frac{27}{a^4}\right)^{10}}\):
ابتدا داخل پرانتز را سادهتر کنید. توانها را داخل پرانتز حساب کنید:
\[
\left(\frac{27^{10}}{a^{40}}\right)^{1/9} = \frac{27^{10/9}}{a^{40/9}}
\]
سپس \((27^{10/9})\) را محاسبه میکنیم. میدانیم \(27 = 3^3\) بنابراین:
\[
27^{10/9} = (3^3)^{10/9} = 3^{30/9} = 3^{10/3}
\]
نتیجه کلی به صورت کسر زیر است:
\[
\frac{3^{10/3}}{a^{40/9}}
\]
4. محاسبه \(\sqrt[4]{3a^2} \times \sqrt[4]{9a^3} \times \sqrt[4]{12a}\):
ابتدا عبارات را درون یک ریشهی چهارم قرار دهید:
\[
\sqrt[4]{(3a^2) \times (9a^3) \times (12a)} = \sqrt[4]{324 a^6}
\]
حل ادامه عبارت:
\[
324 = 18^2
\]
پس:
\[
\sqrt[4]{324 a^6} = 18^{1/2} a^{6/4} = \sqrt{18} a^{3/2}
\]
نتیجه نهایی:
\[
\sqrt{18} a^{3/2} = 3\sqrt{2} a^{3/2}
\]
