حل سوالات به ترتیب زیر است: 1. محاسبه \(\sqrt[3]{1 + \sqrt{49}}\): ابتدا عبارت زیر را محاسبه می‌کنیم: \[ \sqrt{49} = 7 \] بنابراین عبارت اصلی به صورت زیر می‌شود: \[ 1 + 7 = 8 \] حال از ریشه‌ی سوم استفاده می‌کنیم: \[ \sqrt[3]{8} = 2 \] 2. محاسبه \(\frac{\sqrt[5]{a^{-2}}}{\sqrt[3]{a^{-2}}}\): ابتدا می‌توانیم عبارت‌ها را به صورت توان کسری بنویسیم: \[ a^{-2/5} \quad \text{و} \quad a^{-2/3} \] عبارت کسری اصلی به صورت زیر است: \[ \frac{a^{-2/5}}{a^{-2/3}} = a^{-2/5 + 2/3} \] ابتدا کسرها را هم‌مخرج می‌کنیم: \[ - \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{15} + \frac{10}{15} = \frac{4}{15} \] بنابراین: \[ a^{4/15} \] 3. محاسبه \(\sqrt[9]{\left(\frac{27}{a^4}\right)^{10}}\): ابتدا داخل پرانتز را ساده‌تر کنید. توان‌ها را داخل پرانتز حساب کنید: \[ \left(\frac{27^{10}}{a^{40}}\right)^{1/9} = \frac{27^{10/9}}{a^{40/9}} \] سپس \((27^{10/9})\) را محاسبه می‌کنیم. می‌دانیم \(27 = 3^3\) بنابراین: \[ 27^{10/9} = (3^3)^{10/9} = 3^{30/9} = 3^{10/3} \] نتیجه کلی به صورت کسر زیر است: \[ \frac{3^{10/3}}{a^{40/9}} \] 4. محاسبه \(\sqrt[4]{3a^2} \times \sqrt[4]{9a^3} \times \sqrt[4]{12a}\): ابتدا عبارات را درون یک ریشه‌ی چهارم قرار دهید: \[ \sqrt[4]{(3a^2) \times (9a^3) \times (12a)} = \sqrt[4]{324 a^6} \] حل ادامه عبارت: \[ 324 = 18^2 \] پس: \[ \sqrt[4]{324 a^6} = 18^{1/2} a^{6/4} = \sqrt{18} a^{3/2} \] نتیجه نهایی: \[ \sqrt{18} a^{3/2} = 3\sqrt{2} a^{3/2} \]