برای حل این مسئله، باید از مفهوم تشابه مثلثها استفاده کنیم. وقتی دو مثلث همنهشت هستند، ضلعهایشان به نسبت مساویاند و زاویههای متناظرشان برابرند.
مثلثهای \( \triangle ABC \) و \( \triangle A'B'C' \) همنهشت هستند. بنابراین:
1. \( AB = A'B' \)
2. \( BC = B'C' \)
3. \( AC = A'C' \)
مطابق دادههای مسئله:
- \( AB = y + t \)
- \( BC = x \)
- \( AC = z \)
و
- \( A'B' = ry - r \)
- \( B'C' = x \)
- \( A'C' = t \)
از روابط همنهشتی میدانیم:
\[ y + t = ry - r \]
\[ z = t \]
یعنی:
1. \( z = t \)
بنابراین اندازهی ضلع \( A'C' \) برابر \( z \) است.
حل معادله \( y + t = ry - r \):
\[ y + z = ry - r \]
\[ y - ry = -z - r \]
\[ y(1 - r) = -(z + r) \]
\[ y = \frac{-(z + r)}{1 - r} \]
از این رابطه برای محاسبه \( y \) استفاده میکنیم. با توجه به عدد \( r \) و \( z \)، میتوان مقادیر خاص را بهدست آورد.
در نهایت اندازههای اضلاع برابر خواهند بود و همنهشتی مثلثها تایید میشود.
