برای حل این مسئله، ابتدا به تجزیه و تحلیل انرژی می‌پردازیم.
1. **انرژی مکانیکی اولیه:**
- انرژی جنبشی اولیه جسم در بالای سطح شیب‌دار:
\[
K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{8} \, \text{m/s})^2 = 4m
\]
- چون از ارتفاع خاصی می‌آید، انرژی پتانسـیل گرانشی اولیه نیز وجود دارد. فرض کنیم ارتفاع \( h \) برابر \(\Delta h\) باشد:
\[
U_i = mg\Delta h
\]
2. **انرژی مکانیکی نهایی:**
- وقتی جسم به فنر می‌رسد و متوقف می‌شود، انرژی جنبشی برابر صفر است. انرژی به صورت انرژی پتانسیل فنر ذخیره می‌شود:
\[
U_f = \frac{1}{2} kx^2
\]
3. **قانون بقاء انرژی:**
طبق مسئله، انرژی پتانسیل کشسانی فنر در لحظه توقف ۳ برابر انرژی جنبشی اولیه است. بنابراین:
\[
\frac{1}{2} kx^2 = 3 \times 4m = 12m
\]
4. برای محاسبه \( x \):
\[
x^2 = \frac{24m}{k}
\]
برای استفاده از قانون بقاء انرژی و اطلاعات مسئله، لازم است رابطه میان پارامترهای فنر و جرم را پیدا کنیم. فرض کنید \(\Delta h\) و زاویه داده شده برای بررسی روابط هندسی سطح شیب‌دار نیاز هستند.
5. **زاویه سطح شیب‌دار:**
اگر سطح شیب‌دار زاویه \( \theta = 30^\circ \) داشته باشد، می‌توان \(\Delta h = x \sin(\theta)\) را استفاده کرد.
6. **تبدیل انرژی پتانسیل به کینتیک:**
\[
mgx \sin(\theta) + \text{کار نیروی گرانشی} = \frac{1}{2}kx^2
\]
از طریق معادلات دیگر و اطلاعات داده شده، ممکن است به راه حل واقعی دست یابیم. با توجه به پارامترهای داده شده و نیاز به بررسی بیشتر پارامترهای مورد نیاز، به هر یکی از گزینه‌های داده شده می‌توان به عنوان حالت‌های ممکن نگاه کرد.
در نهایت با استفاده از داده‌های مسئله و تبدیلات صورت گرفته، می‌توان محاسبه دقیق‌تری انجام داد. با داده‌ها و نحوه قرارگیری اعداد می‌توان عدد درست از بین گزینه‌ها را انتخاب کرد.
