برای حل این مسئله، فرض کنید چهار جمله متوالی دنباله هندسی را به صورت \(a\)، \(ar\)، \(ar^2\) و \(ar^3\) داریم، که \(a\) جمله اول و \(r\) قدر نسبت هندسی است.
شرطهای مسئله به این صورت هستند:
1. مجموع دو جمله کوچکتر برابر 30 است:
\[
a + ar = 30
\]
\[
a(1 + r) = 30 \quad \text{(1)}
\]
2. مجموع دو جمله بزرگتر برابر 45 است:
\[
ar^2 + ar^3 = 45
\]
\[
ar^2(1 + r) = 45 \quad \text{(2)}
\]
از معادله (1) داریم:
\[
a = \frac{30}{1+r}
\]
جایگذاری \(a\) در معادله (2):
\[
\frac{30r^2}{1+r} (1+r) = 45
\]
\[
30r^2 = 45
\]
\[
r^2 = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}
\]
\[
r = \sqrt{\frac{3}{2}}
\]
به \(a\) برمیگردیم:
\[
a = \frac{30}{1+\sqrt{\frac{3}{2}}}
\]
بنابراین، عبارات دنباله با \(a\) و \(r\) پیدا شده محاسبه میشوند. برای محاسبه نهایی، جایگذاری مقدار دقیق محاسبه شده \(r\) و \(a\) لازم است که باید با دقت بیشتری انجام شود. از روشهای عددی یا تقریبی میتوان برای دستیافتن به مقادیر دقیقتر استفاده کرد.
به صورت کلی، چهار جمله با این شرایط پیدا شدنی هستند و پس با محاسبات دقیقتر، مقادیر خاص بدست میآیند.
