برای اثبات اینکه \( EH = FH \) در متوازیالاضلاع، از خواص متوازیالاضلاع و هندسه برداری استفاده میکنیم.
1. **خاصیت وسطها**: از آنجا که \( E \) و \( F \) وسطهای اضلاع \( AB \) و \( CD \) هستند، میتوان گفت:
\[
\vec{AE} = \vec{EB} = \frac{1}{2} \vec{AB}
\]
\[
\vec{CF} = \vec{FD} = \frac{1}{2} \vec{CD}
\]
2. **خاصیت متوازیالاضلاع**: در متوازیالاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف میکنند. بنابراین اگر قطرها را \( AC \) و \( BD \) بنامیم، نقطه تقاطع آنها \( O \) خواهد بود، و داریم:
\[
\vec{AO} = \vec{OC} \quad \text{و} \quad \vec{BO} = \vec{OD}
\]
3. **استفاده از عمودها**: از آنجا که \( EH \) و \( FH \) عمود بر قطرها هستند و از وسط قطرها عبور میکنند، این دو عمود در واقع فاصلههای ارتفاعی از نقطه اوسط قطر تا خطوط بالایی و پایینی متوازیالاضلاع از نظر تقارن هستند.
4. **اثبات تساوی**: با توجه به تقارن و برابری اضلاع و وضعیت وسطها، و اینکه متوازیالاضلاع خواص متقارن زیادی دارد، میتوان استدلال کرد که \( EH \) و \( FH \) به عنوان ارتفاعات، از نظر اندازه برابر هستند.
بنابراین، با استفاده از خاصیتهای فوق و تقارنهای متوازیالاضلاع، میتوانیم نتیجه بگیریم که:
\[
EH = FH
\]
این نتیجه براساس ویژگیهای خواص متوازیالاضلاع و هندسه است.
