برای هر کدام از گزینه‌ها، ابتدا معادله داده شده را به مدل کلی معادله درجه دوم تبدیل کرده و سپس رسم و تحلیل کنید.
الف) \( y = (x-2)^2 + 3 \)
این معادله فرمی از \( y = (x-h)^2 + k \) دارد که رئوس آن \((h, k)\) برابر با \((2, 3)\) است. بازکردن معادله:
\[ y = (x-2)^2 + 3 = x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7 \]
ب) \( y = 2x^2 - 4x + 1 \)
این معادله درجه دوم به فرم کلی است و می‌توان آن را به شکل رئوس نوشت:
با استفاده از \( h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \).
برای \( k \) داریم:
\[ k = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \]
ج) \( y = x^2 + 2 \)
این معادله به فرم \( y = x^2 + k \) است و رئوس \((0, 2)\) دارد.
د) \( y = -(x+1)^2 - 2 \)
این معادله نیز فرمی از \( y = -(x-h)^2 + k \) است و معکوس بالا می‌باشد، رئوس آن \((-1, -2)\) است.
در مقایسه با معادله بالا، گزینه الف پارابولای باز شده به سمت بالا با رئوس (2, 3) و گزینه د پارابولای باز شده به سمت پایین با رئوس \((-1, -2)\) است.
