برای حل این مسئله از مفهوم انبساط حرارتی مواد استفاده میکنیم. انبساط حرارتی، تغییر در ابعاد یک جسم در اثر تغییر دما است.
فرمول انبساط طولی برای یک جسم به شکل زیر است:
\[
\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T
\]
که در آن:
- \(\Delta L\): تغییر در طول
- \(L_0\): طول اولیه
- \(\alpha\): ضریب انبساط خطی
- \(\Delta T\): تغییر دما
برای میلهای که در سوال مطرح شده است، ما دادههای زیر را داریم:
- \(\Delta L = 0.2 \text{ mm} = 0.0002 \text{ m}\)
- \(L_0 = 1 \text{ m}\)
- \(\Delta T = 40 \text{ °C}\)
حال، ابتدا ضریب انبساط خطی \(\alpha\) را محاسبه میکنیم:
\[
0.0002 = 1 \cdot \alpha \cdot 40
\]
\[
\alpha = \frac{0.0002}{40} = 5 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1}
\]
حالا میتوانیم برای محاسبه انبساط مساحت از فرمول زیر استفاده کنیم:
\[
\Delta A = A_0 \cdot 2\alpha \cdot \Delta T
\]
که در آن:
- \(\Delta A\): تغییر در مساحت
- \(A_0\): مساحت اولیه
- \(\alpha\): ضریب انبساط خطی
- \(\Delta T\): تغییر دما
در اینجا:
- \(A_0 = 4 \text{ m}^2\)
- \(\Delta T = 100 \text{ °C}\)
حالا با جایگذاری مقادیر، تغییر در مساحت را محاسبه میکنیم:
\[
\Delta A = 4 \cdot 2 \cdot (5 \times 10^{-6}) \cdot 100
\]
\[
\Delta A = 4 \cdot 2 \cdot 5 \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-3} \text{ m}^2
\]
برای تبدیل به سانتیمتر مربع:
\[
4 \times 10^{-3} \text{ m}^2 = 4 \times 10^{-3} \times 10^{4} \text{ cm}^2 = 40 \text{ cm}^2
\]
بنابراین، افزایش مساحت صفحهای از جنس میله به مساحت اولیه ۴ مترمربع در اثر ۱۰۰ درجه سانتیگراد افزایش دما، برابر با ۴۰ سانتیمتر مربع خواهد بود.
